如何在不杀人的情况下用简陋的装置测心脏体积?

2020-05-03 0 作者墨冰土

有小盆友邀我回答一个中考题：如何正确地（误）解决 2017 北京市东城区中考一模画风清奇的物理题？

看了一下已有的答案，没有一个回答从科学的角度思考过这个问题该怎么解决。感到有些遗憾。

虽然大家都在抖机灵，但我的确想到了几种对人没任何伤害的方法。既然问题下面都在抖机灵，这样一本正经的反而有点破坏氛围，放在这个专栏倒是正合适，就发在这里好了。

方法一：

我们需要一只小白鼠。

假设人和小鼠体重分别为 $M_1$ 和 $M_2$ ，人和小鼠心脏体积分别为 $V_1$ 和 $V_2$ ，人和小鼠心率分别为 $B_1$ 和 $B_2$ 。同时，人和小鼠的心脏射血分数均为a [1][2]，心脏容积占心脏总体积比均为b。

考虑到人与小鼠这类哺乳动物的细胞中各种微观活动是类似的(中心法则、新陈代谢等，所涉及的基因、蛋白也有很多是保守的)，在这里我们认为单位质量的身体在单位时间所需的供血量是相近的，那么就有：

$\frac{(V_1\cdot a\cdot b)\cdot B_1}{(V_2\cdot a\cdot b)\cdot B_2}=\frac{M_1}{M_2}$ $\Rightarrow V_1=\frac{M_1B_2}{M_2B_1}\cdot V_2$

后来，朋友告诉我这个假设不太对，应该是有个3/4幂律，那么我们按Kleiber’s Law [5],可以把上式改成： $\frac{(V_1\cdot a\cdot b)\cdot B_1}{(V_2\cdot a\cdot b)\cdot B_2}=(\frac{M_1}{M_2})^{\frac{3}{4}} \Rightarrow V_1=(\frac{M_1}{M_2})^{\frac{3}{4}}\frac{B_2}{B_1}\cdot V_2$

用秤称出小鼠和人的体重 $M_2$ 和 $M_1$ ，取小鼠心脏，用排水法测出 $V_2$ (用盆、水、秤)，代入上式即得人的心脏体积。

最后用毛巾擦干净手上的血。

方法二：

我们知道，心跳伴随着频率为心率3-5倍的螺旋波的振荡[3]。而螺旋波的周期与心脏的尺寸直接相关(心脏尺寸相当于动力系统的螺旋波解的边界条件)。

1)仁慈但不够精确的估计方法：

称量自己体重 $M_1$ ，则心脏重量 $M_h=0.6\% \cdot M_1$ [4]。

测脉搏得心跳周期 $T_h$ ，则心脏螺旋波振荡周期为 $T=\frac{1}{3}T_h\sim \frac{1}{5}T_h$ 。

由螺旋波理论可得心脏的有效尺寸为 $I=\frac{M_h^{\frac{1}{3}}}{T}$ [4]。

把心脏近似看作球形，若把有效尺寸近似看做心脏直径，则心脏体积为 $V_1=\frac{4\pi}{3}\cdot (\frac{M_h^{\frac{1}{3}}}{2T})^3$

这种方法不需要用到题目所给的工具，也不需要杀死小动物，但问题是每一步误差都挺大，所以下面我们讲基于螺旋波理论的另一种方法。

2)凶残但较精确的方法：

设人和小鼠心脏有效尺寸分别为 $I_1$ 和 $I_2$ ，人和小鼠体重分别为 $M_1$ 和 $M_2$ ，人和小鼠心脏重量分别为 $M_{h_1}$ 和 $M_{h_2}$ ，人和小鼠心脏体积分别为 $V_1$ 和 $V_2$ ，人和小鼠心率分别为 $B_1$ 和 $B_2$ 。同时，心脏重量占总体重之比均为c [4]。

心脏体积之比可由有效尺寸之比的三次方表达 $\frac{V_1}{V_2}=(\frac{I_1}{I_2})^3$

这里我们认为心脏螺旋波周期之比与心跳周期之比近似相等，均为心率之比的倒数。则由心脏有效尺寸公式，易得：

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{\sqrt[3]{M_{h_1}}\cdot T_2}{\sqrt[3]{M_{h_2}}\cdot T_1}=\frac{\sqrt[3]{M_1\cdot c}\cdot B_1}{\sqrt[3]{M_2\cdot c}\cdot B_2}=\frac{\sqrt[3]{M_1}\cdot B_1}{\sqrt[3]{M_2}\cdot B_2}$

所以 $\frac{V_1}{V_2}=(\frac{I_1}{I_2})^3=\frac{M_1B_1^3}{M_2B_2^3}$

$\Rightarrow V_1=\frac{M_1B_1^3}{M_2B_2^3}\cdot V_2$

接下来类似方法一：测心率，称量，杀小鼠取心脏，排水法测 $V_2$ ，得到 $V_1$ 。

最后用毛巾擦干净手上的血。

从上述推导可以看出不同方法推出的公式并不一致，不知哪一种才比较符合实际，所以理论还需实验验证。若还有更多脑洞，欢迎与我讨论~

这显然是一个“真空中的球形鸡”，不过既然只有4分，玩得开心就好。生活里常有这样看似不认真的小问题，如果我们总能对此多想一步，科学地抖机灵，人生将因此多得多少乐趣啊~

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参考文献：

[1]Ejection fraction

[2] Ford L E. Heart size[J]. Circulation Research, 1976, 39(3): 297-303.

[3] Davidenko J M, Pertsov A V. Stationary and drifting spiral waves of excitation in isolated cardiac muscle[J]. Nature, 1992, 355(6358): 349.

[4] Panfilov A V. Is heart size a factor in ventricular fibrillation? Or how close are rabbit and human hearts?[J]. Heart Rhythm, 2006, 3(7): 862-864.

[5]Kleiber’s law – Wikipedia